ФОРМУЛА ПОЗНАНИЯ.




Содержание

1. Музыка сфер. Стр. 2-68
2. Золотое сечение. Стр.69-132
3. Приобщение к тайне. Стр. 133-203
4. Календарный калейдоскоп. Стр.205-277
5. Сакральная география. Стр. 278-365



ГЛАВА 2

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Пропорции жизни.


С давних пор так повелось: все самое лучшее, ценное и желанное люди называли золотым: чьи-то умелые руки, доброе сердце, отзывчивый характер, незабываемые радостные деньки, покрытые ковром спелой ржи поля… А в трудах Пифагора, Платона, Аристотеля, Евклида нередко упоминается о божественном «Золотом сечении». И о том, что якобы именно оно, и тайно, и явно управляет всей нашей жизнью. Тайный смысл этого термина скрыт в глубинах философии, математики, физики, музыки, поэзии. Известно лишь, что он трактуется как гармония — стройное сочетание, взаимное соответствие предметов, явлений и частей, соединяющих их в единое целое.
Законам «Золотого сечения», то есть абсолютной гармонии, подчиняются не только плоды человеческой деятельности, но и сам человек — его внутренние органы и системы, его душа, его мысли. С рождения человеку предписано находиться в гармонии с собой и с внешним миром. Как только эта гармония нарушается, человек «выпадает» из универсальных структур мироздания, сотворенных неведомым и загадочным Вселенским Разумом. У человека начинаются всевозможные проблемы. И прежде всего — проблемы со здоровьем, поскольку болезнь есть не что иное, как отклонение от классических пропорций, дарованных природой. (С. Вербин)
Уровень развития современной науки не оставляет сомнений в том, что все компоненты окружающего нас мира включая бескрайние просторы Вселенной подчинены вполне определенным числовым соотношениям. Что в принципе и сделало возможным относиться к числу не только как к единице счёта, но и как к эквиваленту самых разнообразных свойств и значений. Более того, существует мнение, что число - это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными. Все упорядочивается в соответствии с числами, и всё подчинено их соотношениям. Таково было мнение Пифагора и его многочисленных последователей. Мы слышим звуки музыки. Но её благозвучные и гармоничные аккорды отнюдь не случайны. Важнейшие гармонично звучащие интервалы могут быть получены всего лишь при помощи отношений чисел 1, 2, 3, 4. Если длину струны или длину флейты уменьшить вдвое, то тон повысится на одну октаву. Если же уменьшить в отношении 3:2 или 4:3, то этому будут соответствовать музыкальные интервалы квинта или кванта. При звучании трех струн гармоничный аккорд получается в том случае, когда отношение длин этих струн близки к отношениям 3:4:6.
Числовая гармония мира проявляется, и в том, как покрывается плоскость правильными многогранниками. В школе Пифагора было установлено, что возможны только три таких покрытия. А именно: вокруг одной точки можно уложить 3 правильных шестиугольника, 4 квадрата и 6 правильных треугольников. Таким образом мы опять встречаем числа 3:4:6. Пифагор утверждал: "Числа управляют мировым порядком. На числах основана гармония Вселенной".
Причём, числа эти не простые. В самом деле, если сторону квадрата принять за 1, то из теоремы Пифагора следует, что невозможно найти отношение двух целых чисел так, чтобы оно было равно длине диагонали квадрата. Невозможность найти общую меру стороны и диагонали квадрата поразила и смутила многих. Несоизмеримые величины стали называть иррациональными, что означает "уму непостижимые".
Но именно открытие несоизмеримых, «уму непостижимых» величин, есть самый большой вклад школы Пифагора в математику. Не менее важным кажется и уклон в сторону того, что вовсе не арифметика способна отобразить законы мира, а геометрия. С помощью длин отрезков, площадей фигур, объемов тел, можно исследовать практически все законы природы. И Пифагор первый подсказал эту замечательную мысль. Ведь именно в школе Пифагора каждому числу пытались сопоставить геометрический образ.
Числа 1, 4, 9, 16, ... назывались квадратными, число 8 - кубическим, число 6- прямоугольным, число 24 - телесным. Для названий всех этих чисел есть веские основания. Но если Пифагор лишь предположил главенство геометрии, то Платон узаконил его. Недаром в организованную им академию над входом была помещена надпись: «Сюда не должен входить никто, не знающий геометрии».
И хотя геометрия Платона вывела учение Пифагора на совершенно новый качественный уровень, она не смогла повлиять или изменить главный закон математики, обоснованный великим учителем. Закон этот базируется на так называемом делении отрезков в крайнем и среднем отношении, т.е. меньший отрезок относится к большему, как этот больший - к целому отрезку.
Это отношение впоследствии назвали "ЗОЛОТЫМ СЕЧЕНИЕМ "и не без основания приписали его открытие Пифагору. Как впрочем и то, что золотое сечение является своеобразным маркером всего того, что находится в гармонии с Богом, его законами и его творениями.
Так что же это такое – «золотое сечение».


Золотое сечение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Более того, есть все основания предполагать, что золотое сечение это базовый формат законов мироздания, привносящий в них не только универсальность, но и отпечаток единого источника происхождения и единого замысла воплощения. Именно в таком ракурсе он воспринимался на заре человеческой истории, когда люди были намного ближе к Богу. Впрочем, в последние годы заметно активизировался интерес к наследию древних учёных, так как их взгляды находят самые неожиданные подтверждения во многих областях современной науки.

История золотого сечения.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.), создатель не только первых научных школ, но и тайных научных обществ, призванных сохранять и развивать законы и установления богов. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения.
Не менее глубоки в вопросах «золотого сечения» были познания халдейских мудрецов, которые к тому же были искуснейшими астрономами, чьи познания в области движения планет выглядят не просто удивительными, а абсолютно фантастическими. Нельзя исключать того, что в школе Пифагора многое было заимствовано из учений и знаний ближневосточных магов и персидских зороастрийцев.
Во многом благодаря Пифагору, греки снискали себе славу самых искусных геометров древности. Даже арифметике они обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. А на основании двусмежного квадрата выполнялись простейшие построения золотых пропорций.

Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.), будучи последовательным пифагорейцем, не только знал о свойствах золотого сечения, но и умело углублял познания в этой области математики. Его диалог “Тимей”, тот из которого мы мимоходом узнали о легендарной Атлантиде, во многом посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого сечения. Этого краеугольного камня в научных познаниях древних греков, в их философии, изобразительном искусстве и даже в архитектуре. В фасаде и в плане древнегреческого храма Парфенон присутствуют многократно повторяющиеся золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира.


Античный циркуль золотого сечения
В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого сечения. В дошедшей до нас античной литературе золотое сечение впервые упоминается в “Началах” Евклида. Во 2-й книге “Начал” дается геометрическое построение золотого сечения. После Евклида исследованием золотых пропорций занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым сечением познакомились по арабским переводам “Начал” Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотых пропорций ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. Знание золотых пропорций и умение системно пользоваться ими, считалось высшей степенью учености.
В эпоху Возрождения, многократно усиливается интерес к золотому сечению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачиоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачиоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачиоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась “О перспективе в живописи”. Его считают творцом начертательной геометрии.
Лука Пачиоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачиоли “Божественная пропорция” с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачиоли не преминул назвать и ее “божественную суть” как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение Бога сына, больший отрезок – Бога отца, а весь отрезок – Бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого сечения. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. “Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать”.
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачиоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя “Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности”.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы “вместе с водой выплеснули и ребенка”. Вновь “открыто” золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд “Эстетические исследования”. С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях “математической эстетикой”.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название “Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве”.
В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.
В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д. ( по материалам статей В. Лавруса)


Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, где познакомился не только с особенностями культуры, но и что оказалось гораздо важнее с оригинальными научными знаниями. Именно Леонардо, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами и методами оперирования с ними. В 1202 г вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи и методы их решения. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности этих чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34= 0,617, а 34 : 55= 0,618. Это отношение впоследствии стало обозначаться символом Ф. по мнению одних в честь Фибоначчи, по мнению других в честь Фидия виртуозно владевшего методами воплощения этого числа в художественных образах. Только это отношение – 0,618 : 0,382 (0,618+0,382=1) – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Магическая составляющая чисел ряда, так увлекла Фибоначчи, что он в какой-то момент, уловил их незримое присутствие в самых различных явлениях окружающего мира. С использованием свойств этих чисел он пытался решать самые различные задачи включая чисто прикладные. Так хорошо известна решённая Фибоначи задача о наименьшем количестве гирь для нужд торговли. То есть, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи убедительно показывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Обобщенное золотое сечение

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ряд Фибоначчи оказался очень удобным эквивалентом множества соотношений, имеющих место в самых разнообразных сферах жизнедеятельности. Что не могло остаться незамеченным.
Всё это побудило учёных заняться активным развитием теории чисел Фибоначчи и золотого сечения. Г. Т. Фехнером была установлена связь между психофизическим восприятием человека и “золотыми” формами предметов. Т. Кук уделяет большое внимание изучению роли логарифмической спирали в растительных и животных объектах. Им установлено, что феномен роста в биологических объектах связан со спиралями золотого сечения. О значении золотой пропорции в природе и искусстве пишут Г. Тимеринг, М. Гика и Г. Д. Грим, которые приводят многочисленные примеры проявлений золотого сечения в явлениях природы и различных прикладных искусствах. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта.
После некоторого ослабления внимания к золотому сечению в середине ХХ столетия во второй его половине наметилась тенденция более серьезного к нему отношения со стороны ученых-специалистов в различных отраслях знаний, в том числе и в биологии. Настоящий “взрыв” исследований по проблеме золотого сечения приходится на последние 10-15 лет. В эти годы в СССР и странах СНГ появились крупные работы в различных отраслях знаний, где золотая пропорция и ее закономерности использованы как своеобразный методологический принцип, лежащий в основе анализа самоорганизующихся природных и технических систем, их структурной гармонии.
А. П. Стахов развивает направление по приложению обобщенных золотых сечений и p-чисел Фибоначчи к решению задач математической теории измерений и использованию нетрадиционных методов в теории кодирования информации. Геометрическая интерпретация рекуррентного соотношения для р-чисел Фибоначчи может быть получена, если разделить отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы AB/CB=x, а CB/Aр=хр Значение искомого отношения АВ/СВ сводится к решению алгебраического уравнения
хр+1+х-1=0
P 0 1 2 3 4 5 6 7 8
T p 2 1,618 1,465 1,380 1,324 1,285 1,255 1,232 1,213
где приведены приближенные значения золотых р-пропорций, соответствующих значениям р: При р=1 это уравнение принимает классический "золотой" вид x2 + х –1 = 0. Корень данного уравнения есть знаменитое число (-1+ 5)/2=0,618, которое Л. да Винчи назвал золотым сечением. По аналогии с золотой пропорцией положительный р-корень уравнения называется обобщенной золотой пропорцией или р-пропорцией, а соответствующее деление отрезка - золотым р-сечением.
Группа ученых во главе с А. П. Стаховым предложила также новый вид тригонометрических (гиперболических) функций (sFx - фибоначчиев синус, cFx - фибоначчиев косинус и т.д.), изучила их свойства и разработала теоретические основы их применения (дифференцирование, интегрирование и т.п.). Значительный интерес к золотым р-сечениям был в философской науке. Э. М. Сороко ввёл их в ранг "закона структурной гармонии систем". Золотые р-сечения по нормированию противоположностей к единице своего рода интерференционную решетку ("узлы") - 0,275+0,725; 0,318=0,682; 0,382=0,618; 0,725+0,275 и т.д. Их разделяют "пучности" - 0,295+0,705; 0,346+0,654; 0,430+0,570; 0,654+0,346; 0,705+0,295 и т. д. "Узлы" зоны, устойчивости, а следовательно, и гармонии самоорганизующихся систем (в том числе и живых), а "пучности" - зоны неустойчивости и дисгармонии.
М. А. Марутаевым создана оригинальная теория "качественной" симметрии чисел. Согласно этой симметрии золотое сечение может быть представлено не только числом 1,618 (как принято), но и следующими числами:
7 6 5 4 3 2 1
9,888 6,472 4,944 3,2362,4721,618 1,236
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
 0,809 0,618 0,405 0,309 0,2020,154 0,101 и т.д.
Представленные числа являются результатом зеркального числа 1,618 относительно интервалов ( 2)n , где n=...,-7, -6,...+6, +7,...Символ  означает зеркальную симметрию соседних чисел относительно ( 2)n.
А. В. Жирмунский и В. И. Кузьмин, анализируя критические уровни в развитии биологических систем (зачатие, рождение, половая зрелость), установили, что отношение некоторых важнейших параметров на соседних уровнях характеризуется числом ее = 15,15...C точки зрения преобразований качественной симметрии здесь имеет место золотое сечение. Число eе является инвариантом преобразований в процессе развития организма. М. А. Марутаевым была показана также связь числа Ф с числом b =137. Число 137 выводится из фундаментальных констант природы - заряда электрона (q), постоянной Планка (h) и скорости света (c). Безразмерное число 137 связано с целостностью мироздания, поскольку является отношением фундаментальных констант.
Закономерности золотой пропорции установлены также в явлениях самоорганизации планет Солнечной системы. К. Б. Бутусов установил, что периоды обращения соседних планет Солнечной системы и их основных волн биений соотносятся между собою как золотое сечение или квадрат золотого сечения.
С. В. Петухов занимаясь проблемами биосимметрий высших порядков (конформными преобразованиями), установил, что двойное отношение длин трехзвенных конечностей млекопитающих и человека, птиц и насекомых приблизительно равно одной и той же величине - 1,309. Двойное отношение четырех точек линии ABCD W=(ACЧ BD)/(BCЧ AD) может иметь значения от 1 до . Величина 1,309 для трехзвенной линии ABCD связана с числом 1,618 через выражение W=Ф2/2=1,309, если AB=Ф, BC=Ф2 , CD=Ф3 ; эта величина получила обозначение золотого вурфа. Золотой вурф является также инвариантом по отношению к конформным преобразованиям длины блоков тела человека в ходе развития организма.
М. С. Радюк установил проявления золотой пропорции при изучении скорости осаждения хлоропластов при денатурации гемогената высших растений.
И. Н. Степанов обнаружил многочисленные проявления золотого сечения и чисел Фибоначчи в структуре почвенного покрова, вещественного состава почв и их продуктивности.
П. Ф. Шапоренко и В. А. Лужецкий провели большое количество измерений скелетов человека и других животных, в том числе и ископаемых, прослеживая эволюционные изменения основных системообразующих элементов. Он убедительно показал, что гармоническая соразмерность частей тела человека связана с обобщенными золотыми p-пропорциями.
В. И. Коробко обнаружил многочисленные, ранее неизвестные проявления золотой пропорции в деятельности организма человека: его физиологических ритмах, эргономических параметрах "вхождения" в окружающую среду.
О. Я. Боднар установил закон преобразования спиральных симметрий, раскрывающий механизм роста и формирования в живой природе. Рост филлотаксисных форм сопровождается изменением симметрии пересекающихся спиралей, количество которых выражается парами чисел - 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13 и т.д. Последовательная смена порядка спиральной симметрии характеризуется гиперболическим поворотом.
В. Д. Цветков показал, что деятельность сердца человека и млекопитающих во многом связана с золотым сечением и числами Фибоначчи. Золотые числа составляют основу законов оптимальной композиции структур сердечного цикла. В результате симметричных преобразований происходит "тиражирование" золотых отношений от одного вида млекопитающих к другому.
В. В. Очинский исследовал музыкальную гамму с позиций золотого сечения, привнеся принципиально новый взгляд на эту проблему. (В.Д. Цветков «Пропорция золотого сечения и структурасердечных циклов млекопитающих» 2001 г.)
Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.
Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.
Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?
Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS (n), то получим общую формулу φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1).
Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.
В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.
Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.
Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.
Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.
С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.
Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.
Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.
В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.




Золотое сечение – гармоническая пропорция
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
a : b = b : c или с : b = b : а.

Геометрическое изображение золотой пропорции
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнением:
x2 – x – 1 = 0.
Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
Золотой треугольник
Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Рис. 6. Построение золотого
треугольника.
Наши исследования геометрических фигур использующих в своей основе золотые пропорции были бы неполными без упоминания о золотом треугольнике пирамид, в которых острые углы равны 51º51' и 38º08' соответственно. А так же тесно связанный с золотым – египетский треугольник, единственный у которого все три стороны могут принимать целочисленные значения (3:4:5), а острые углы ≈53º06' и ≈36º54' соответственно. Как будет показано ниже, эти треугольники играют весьма важную роль в формировании и функционировании большинства, если не всех структур живой и неживой материи. Однако их комплексное использование, как правило не даёт желаемых результатов в двумерном пространстве, а потому большинство исследователей занимающихся проблемами золотых пропорций как правило отдавали предпочтение геометрическим фигурам более низшего порядка, позволяющим эффективно воплощать пропорции золотого сечения на плоскости. Более того, данные методы пользовались наибольшим спросом, особенно в среде деятелей искусства, срамящихся вдохнуть в свои произведения не только высшую гармонию, но и частицу жизни.


Золотое сечение в искусстве.

В настоящее время, трудно найти точку отсчёта, начала той традиции, по которой в основу произведений архитектуры и живописи, стали закладываться золотые пропорции. Традиционно считается, что первым творением рук человеческих на этом поприще стали пирамиды Египта. И хотя данное предположение верно лишь отчасти, и вряд ли имеет нечто общее с реальными идеями заключёнными в их конструкции. Тем не менее, уже в историческое время, мы находим множество параллелей с египетскими «монументами», в плане сооружения культовых зданий. Не исключено, что данная традиция возникла на базе осмысления определённых тождеств в конструкциях пирамид в частности, и в устройстве окружающего мира вообще. И если Пифагор, а вслед за ним и многочисленные ученики включая Платона, считали наличие в том или ином предмете золотых пропорций, своеобразным автографом Творца, то само собой разумеющееся, что и культовые сооружения должны находиться в полной гармонии с данным принципом и нести в своей конструкции те же самые закономерности, которые обнаруживают себя в творениях Бога.
В настоящее время принято считать, что золотые пропорции вносят в конструкцию архитектурного сооружения или произведения искусства некую гармонию зрительного восприятия. Однако для авторов этих творений важнее было достичь гармонии не в области восприятия, а в области созидания, дабы вдохнуть в своё детище частицу божественности и соответствия великому принципу творения. Ведь наличие золотых пропорций в том или ином предмете автоматически дарует ему возможность существовать в той же матрице соотношений, что и творения Всевышнего.
Как кажется, древние архитекторы, скульпторы, художники, все те кто удостоился права приобщиться к великой тайне, внося в свои произведения золотые пропорции, преследовали главным образом, именно эти цели, а уж потом то, что принято называть гармонией зрительского восприятия. Которая на самом деле есть не первопричина, а следствие. Грубо говоря, применение золотых пропорций это попытка автора наделить своё произведение пропорциями созидающими жизнь, подобно тому, как некогда вдохнул в свои произведения жизнь Всевышний, даровав им законы и принципы симметрий построенных на золотых пропорциях.
Ярким примером такого подхода к созданию художественного произведения, является картина Леонардо да Винчи, Мона Лиза (Джоконда). Композиция портрета "Джоконда" основана, по словам Луки Пачиоли (средневекового монаха), на золотых треугольниках, которые являются частями звездчатого пятиугольника. Это самая прославленная картина во всей истории живописи. Написанная почти пять столетий назад, стала сенсацией XX века, темой газетной шумихи. Миллионные очереди зрителей простаивали сутками перед зданиями музеев Америки, Японии, Москвы, чтобы в течении нескольких минут посмотреть на заключенный в бронированную витрину, очень плохо различимый в её искусственной среде шедевр Леонардо. Удивительная изменчивость лица молодой женщины. В нём проступает то холодная ирония, то кокетливая лукавство, то печаль, то душевная ясность, то серьезная сосредоточенность, то доверчивая открытость, то замкнутая не проницательность душевной жизни. Вся композиция несет в себе пафос господства человека в мире, его центрального положения во Вселенной.









Портрет Моны Лизы (Джоконда) привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках", точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника. Зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения.

Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение. Причём в его наивысшей точке проявления по отношению к живой материи. Ведь именно пентаграмма, как будет выяснено ниже, является отличительным признаком в строении и функционировании биологических объектов.







Не являются исключением из правил и другие произведения великого матстера, в которых без особого труда можно рассмотреть манипулирование теми или иными способами создания золотых пропорций. Показательна в этом плане фреска «Тайная вечеря». В которой помимо всего прочего применены золотые прямоугольники, призванные не только сосредоточить внимание на образе Христа, но и вдохнуть в него частицу жизни. Было так же определено, что больше всего внимания смотря на прямоугольный рисунок придается центральной части, образованной точками которые делят этот рисунок в золотой пропорции (как показано на прилагаемой схеме). Любопытно так же и то, что через лик Спасителя проходят не только диагонали картины, но и ось симметрии, без наличия которой немыслимо функционирование живых объектов.




Хотя Леонардо да Винчи считается одним из основоположников применения пропорций золотого сечения в изобразительном искусстве, традиция эта возникла задолго до него. И египтяне и древние греки умело пользовались этими соотношениями. Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя Дорифора, изваянная Поликтетом в V веке до н.э. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с Золотым сечение. М=0,618…
Венера Милосская, статуя богини Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства - также построена на пропорциях золотого сечения.


Картина «Святое семейство» Микеланджело признана одним из шедевров западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический анализ показал, что композиция картины основана на пентакле. На том самом пентакле, который зримо или незримо но присутствует в структуре или образе функционирования практически всех известных нам видов живых существ. Не исключено, что именно данная мысль подтолкнула Микеланджело к принятию столь необычного композиционного решения, в котором помимо принципов золотого сечения присутствует и органически связанная с ним система симметрий.
Однако опыт Микеланджело, в построении композиции изобразительных полотен на основе золотых пропорций пентакля, является редким исключением из числа картин построенных на основе однократного или многократного деления полотна на сегменты соотносящиеся между собой в золотых пропорциях. Примеров тому великое множество, среди которых показательны произведения Репина.


Картина И.Е. Репина "А.С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года".

Фигура Пушкина помещена художником в правой части картины по линии золотого сечения. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы Пушкина до головы Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения, проходящей вдоль фигуры Пушкина.
Несмотря на то, что абсолютное большинство художников стремилось скомпоновать свои произведения посредством линейных золотых пропорций, иногда встречаются весьма оригинальные опыты с некоторыми другими, боле сложными в исполнении вариантами, включая золотые спирали. Как то мы можем наблюдать на примере произведения Рафаэля "Избиение младенцев".

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль! Эта уникальнейшая во всех отношениях геометрическая фигура, структуру которой можно рассмотреть у большинства живых существ.









Не менее изощрённо комбинировали с системами золотых пропорций и многие другие художники. Весьма показательна в этом плане картина В. И. Сурикова, «Боярыня Морозова».


Роли ее отведена средняя часть картины. Она окована точкой высшего взлёта и точкой низшего спадания сюжета картины.
1) Это — взлёт руки Морозовой с двуперстным крестным знамением как высшая точка.
2) Это — беспомощно протянутая к той же боярыне рука, но на этот раз — рука старухи — нищей странницы, рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней.
А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А1В1, отстоящее на 0,618... от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни!
Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному.
В нём, и именно в нём, — величайшая сила Морозовой.



Золотое сечение в архитектуре.

Как кажется, реальные объяснения тому, что в изобразительном искусстве, и особенно в скульптуре, находят своё многочисленное преломление золотые пропорции, следует искать в архитектуре. Так как именно архитектурные памятники древности стали первыми хранителями произведений искусства, которые в свою очередь создавались по тому же самому образу и подобию что и их более внушительные аналоги. С другой стороны, если мы привязываем наличие золотых пропорций ко всему тому, что возникло и живёт по законам Божественного творения, то само собой разумеющееся, что храм, как вместилище Божественной мудрости и её хранилище, должен гармонировать с идеей, законами и принципами Создателя. Если храм это связующее звено в цепочке общения Бога и человека, то его функционирование в этой роли невозможно без наличия золотых пропорций и им соответствующих симметрий.
По большому счёту, золотые пропорции обнаруживают себя в структуре культовых сооружений многих культур и народов нашей планеты. Будь то пирамиды Центральной Америки или храмы Индокитая, Греческие базилики или Древнерусские церкви. Все они в той или иной мере содержат в себе частицу божественного замысла, дарующего жизнь.
Наиболее доступны и наглядны в этом плане, произведения древнегреческой архитектуры. Одним из красивейших представителей которой является Парфенон (V в. до н. э.). Храм Афины - Парфенон был построен в честь победы эллинов над персами. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.
Как указывает Г.И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон у места расположения монументальных ворот при входе в город (пропилеи) отношения массива скалы у храма также соответствует золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.
Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях ее частей золотое сечение. Если принять за единицу ширины торцовый фасад храма, то получим прогрессию, состоящую из восьми членов ряда. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам истинное эстетическое наслаждение и что-то ещё, труднообъяснимое но реально присутствующее в строго упорядоченном нагромождении камней.




На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...
На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":


История умалчивает о том, каким образом сохранялись, развивались и передавались из поколения к поколению знания и опыт создания золотых пропорций в архитектуре и изобразительном искусстве. Однако у нас есть неопровержимые доказательства того, что процесс этот был последовательным и хорошо организованным. Причём набором сокровенных знаний пользовались не только представители мировых цивилизаций: Египет, Мексика, Индия, Греция и Рим но и куда менее известные участники создания основ современной человеческой цивилизации. Не является исключением из правил и Россия, где принципы золотого сечения были известны с глубокой древности.





Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все «на глазок», без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии древних храмов.
Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем пропорций золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения. В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

Более того, система мер применяемая в древней Руси целиком, как на то показали многочисленные исследования, была построена по принципу золотых пропорций, а потому, даже весьма древние памятники русской архитектуры, такие как церковь Покрова на Нерли и другие, уже содержат в себе совершеннейшую систему золотых пропорций. Недаром в древних сказаниях говориться о том, что именно в русских мерах, и русскими архитекторами был построен знаменитый храм Соломона в Иерусалиме.
Знаменитый русский архитектор М.Ф.Казаков широко использовал в своем творчестве золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он проявился в многочисленных проектах жилых домов и усадеб. Например, золотое сечение можно встретить в архитектуре здания бывшего сената в Кремле, Дворца в Петровском Алабине и Голицынской больницы в Москве, которая в настоящее время называется Первой Клинической больницей имени Н.И.Пирогова.
Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектора В.Баженова. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 году. Многие высказывания зодчего заслуживают внимания. О своем любимом искусстве Баженов говорил: "Архитектура - главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойствие и прочность здания. К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы, механики или вообще физики, а всем им общим вождем является рассудок".
Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторонами 1:2. Рассмотрим подробнее некоторые из них. Одним из бесспорных шедевров русского зодчества является церковь Вознесения в Коломенском. В основу пропорции этого храма положен прямоугольник со сторонами 1 и -1, который состоит из двух прямоугольников золотого сечения. Все элементы церкви от плана до любого членения фасада подчинены двум отношениям: повторению размеров (1:1) и отношению 1:(-1)=0,809. Нижняя часть креста делится полумесяцем на нижнюю и верхнюю часть как (-1)/2=0,618. На гранях шатра имеется выполненная из белого камня сетка ромбического рисунка, подчеркивающая движение вверх. Ромбы делят грань шатра на отрезки, связанные попарно: внизу - 1 : (-1) и вверху (-1) : 2.











Золотое сечение в музыке


Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении Золотого сечения.
Еще в 1925 году искусствовед Л.Л.Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

Композитор и ученый М.А.Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате "Аппассионата" и нашел ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке – центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором – 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 дает золотое сечение.


Наибольшее количество произведений, в которых имеется Золоте сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Если музыка – гармоническое упорядочение звуков, то поэзия – гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определенного момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Так, если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая – на 38-ю (38%) и т.д. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, в том числе и «Евгений Онегин» - тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели и М.Ю. Лермонтова также построены по принципу Золотого сечения.
По мнению ряда исследователей, на принципах золотого сечения построены церковные песни и молитвы, в которых тон, интонация, ритм, ударения, повторения, всё подчинено золотым пропорциям. И именно строгое следование их законам, помноженным на наличие золотых пропорций в конструкции храма, способствует наибольшему эмоциональному подъёму и глубокому проникновенному восприятию, доходящему до самой глубины души.

Страдивари писал, что с помощью золотого сечения он определял места для f-образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок.




Золотое сечение и симметрия.

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из уникальнейших проявлений симметрии. С другой стороны, существует целый комплекс свойств асимметрии золотых пропорций.
Однако, золотое сечение не есть простое проявление асимметрии, или чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.
На сегодняшний день невозможно себе представить, какой либо из разделов науки, в котором бы не проявляли себя свойства и особенности динамической симметрии тесно связанной с золотыми пропорциями. Физика, химия, биология, генетика, астрономия, везде мы находим те или иные признаки динамической симметрии. Именно благодаря её характерным особенностям, мы сегодня с уверенностью можем говорить о том, что окружающий нас мир, это не хаос, а симметрично упорядоченная структура, в которой даже орбиты планет, их скорости и периоды обращения, подчинены единому закону. В жёстких рамках которого функционирует даже столь сложная планетарная система, не говоря уже о более простых понятиях и явлениях. Наличие симметрии, особенно её динамических проявлений является не только своеобразным маркером наличия разумного начала, но и одним из важнейших и необходимых условий жизни во всех её проявлениях.
В. И. Вернадский писал, что "между симметрией косных естественных тел и явлений и симметрией живого вещества, т.е. живых организмов, существует резкое различие, без всяких переходов и исключений". Особенность симметрии жизни иллюстрировалась им, в частности, таким фактом: "Ось симметрии 5-го порядка, неразрывно связанная с золотым сечением...Эта ось, играющая заметную роль в морфологии форм жизни, в кристаллографии невозможна". В мире кристаллов возможна только поворотная симметрия порядков 2, 3, 4, и 6. Считается, что пятерная ось у мелких организмов является своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против кристаллизации, первым шагом которой была бы их "поимка" решеткой. Поворотная симметрия пятого порядка часто встречается в живой природе (например, морские звезды, цветы). Эта симметрия свойственна икосаэдру. А. Г. Волохонский установил соответствие общей структуры генетического кода, ряда биноминального разложения 2 и икосаэдра. Установлено также, что вирусы, состоящие из РНК и белка, представляют собой правильные икосаэдры. На этих примерах можно утверждать, что икосаэдральная форма и L -симметрия являются фундаментальными в организации живого вещества.
Из всего выше сказанного, вполне очевидно то, что золотая пропорция "представляет" симметрию во многих явлениях окружающего нас мира, что она действительно связана с фундаментальными проблемами современной науки. Неравенство сопрягающихся элементов целого, соединенных законом подобия, отражает заключенную в золотом сечении меру симметрии и асимметрии. Его особые свойства позволяют возвести это, говоря словами Кеплера, математическое сокровище в разряд инвариантных сущностей гармонии.
Что касается того факта, что все виды симметрии, в той или иной форме, но связаны с золотыми пропорциями, свидетельствует в пользу того, что это явление не плод случайных совпадений, а многоцелевая структурная матрица, на базе которой происходит воплощение законов, лежащих в основе мироздания. Золотые пропорции, это не столько отпечаток, сколько принцип формирования гармоничного устройства мира, пробуждающего животворящие силы природы. Те самые силы, которые делают мир предельно гармоничным, и прежде всего за счёт создания симметричной асимметрии построенной на принципах золотых пропорций. Как это не парадоксально, но в окружающем нас мире, главным математическим признаком разумного начала, являются именно золотые пропорции, которые очень часто обнаруживают себя в тех предметах которые мы традиционно причисляем к разряду не живых. И как кажется, в большинстве случаев совершенно напрасно. Хотя однозначного и утвердительного ответа на данную проблему пока дать невозможно. Однако попытаемся сделать несколько робких шагов в данном направлении, чтобы хоть как-то рассеять наши сомнения или иллюзии.


Принципы формообразования в природе.

Мы не ошибёмся если начнём своё знакомство с проявлениями золотых пропорций в живой природе на примере принципов формообразования. В широчайшем спектре биологических исследований было убедительно показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Всё это позволило признать Золотое сечение универсальным законом живых систем.
Так же, было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи, очень хорошо характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи.
Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.
Все, что когда-либо приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции.
Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. И не нужно иметь специальных навыков, для того чтобы отыскать их у представителей животного или растительного мира. Даже у человека, мы находим те или иные её формы, как говориться от макушки до кончиков пальцев. Вот почему наше представление о золотом сечении будет неполным, если мы не познакомимся со структурой спирали. Тем более, что именно спираль является одной из основных структурных матриц не только живых биологических существ, но и объектов куда более сложных и громоздких, включая космические галактики.



Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно и содержит в своей основе уже знакомые нам золотые пропорции. Не исключено, что кроме всего прочего, это свойство включает в себя некие условия оптимизации тех или иных структурных построений. Быть может в силу именно данных особенностей, в настоящее время спираль Архимеда нашла широкое применение в науке и технике.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян кукурузы, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.


Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

Оказывается, что расположение листьев на стеблях также носит строгий математический характер и это явление называется в ботанике "филлотаксисом".

Суть филлотаксиса состоит в винтовом расположении листьев на стебле растений (ветвей на деревьях, лепестков в соцветьях и т.д.).

В явлении филлотаксиса используются более сложные понятия симметрии, в частности понятие "винтовая ось симметрии". Рассмотрим, например, расположение листьев на стебле растения ( слева). Мы видим, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть "винтовой симметрии.




А теперь рассмотрим характерные "винтовые оси", которые возникают на стеблях растений (Рис слева). На Рисунке изображен стебель растения с винтовой осью симметрии третьего порядка. Проследим линию листорасположения на этом рисунке. Для того, чтобы перейти от листа 1 к листу 2, следует повернуть первый вокруг оси стебля на 120° против часовой стрелки (если смотреть снизу) и затем передвинуть листок 1 вдоль стебля по вертикали до тех пор, пока он не совместится с листком 2. Повторяя подобную операцию, перейдем от листа 2 к листу 3, а затем к листу 4. Обратим внимание на то, что листок 4 лежит над листком 1 (как бы повторяет его, но этажом выше) и что, идя от листа 1 к листу 4, мы трижды совершили поворот на угол 120°, т.е. осуществили полный оборот вокруг оси стебля (120° х 3 = 360°).


Угол поворота винтовой оси у ботаников называется "углом расхождения листьев". Вертикальная прямая, соединяющая два листа, расположенные друг над другом на стебле, именуется "ортостихой". Отрезок 1-4 ортостихи соответствует полной трансляции винтовой оси. Число оборотов вокруг оси стебля для перехода от нижнего листа к вышележащему, расположенному в точности над нижним (по ортостихе), может равняться не только единице, но и двум, трем и т.д. Это число оборотов называется "листовым циклом". В ботанике принято характеризовать винтовое листорасположение с помощью дроби, числителем которой является число оборотов в листовом цикле, а знаменателем - число листьев в этом цикле. В рассмотренном нами случае мы имеем винтовую ось типа 1/3.

Заметим, что существуют и более замысловатые оси, например, типа 3/8, 5/13 и т.д.
Какими могут быть числа a и b, характеризующие винтовую ось типа a/b

Дробь 1/2 свойственна злакам, березе, винограду; 1/3 - осоке, тюльпану, ольхе; 2/5 - груше, смородине, сливе; 3/8 - капусте, редьке, льну; 5/13 - ели, жасмину и т.д.

Ботаники утверждают, что дроби, характеризующие винтовые оси растений, образуют строгую математическую последовательность, состоящую из отношений соседних чисел Фибоначчи, то есть:


1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, ...

Вспомним, что ряд Фибоначчи есть следующая последовательность чисел:


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Какова же "физическая" причина, лежащая в основе "законов филлотаксиса"?

Большинство биологов склонны считать, что ответ на этот вопрос очень прост. По их мнению, именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению. Хотя на самом деле, это всего лишь одга из причин.















Бивни слонов и вымерших мамонтов, рога копытных, когти кошачьих, клювы птиц и множество других структурных форм живых организмов являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.
Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».
Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.



Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Есл